« La libertad es como un número primo. » Roberto Bolaño, Los Detectives Salvajes

mathematics without apologies de Michael Harris, je l’ai dit ailleurs, est une lecture incontournable si vous êtes intéressé par les mathématiques. Et probablement encore plus, si vous ne l’êtes pas. Mais encore une fois, ce n’est pas une lecture facile.

Après la déclaration dans son chapitre 3 selon laquelle les mathématiques n’étaient « pas mêmes utiles, vraies ou belles », Harris poursuit avec des arguments provocateurs et judicieux sur les relations que les mathématiques ont avec l’argent (Chapitre 4 – Megaloprepeia), avec le corps (Chapitre 6 – D’autres recherches sur le problème corps-esprit), avec les fondations (Chapitre 7 – L’habitude de s’accrocher à un terrain ultime) et même avec les astuces (Chapitre 8 – La science des astuces), et finalement Harris revient aux Apologies après un chapitre personnel sur l’inspiration et le travail (Chapitre 9 – Un rêve mathématique et son interprétation).

L’auteur m’a fait découvrir, honte sur moi, que «apologie» ne signifie pas que « éloge », mais aussi « excuse » ou « défense ». Difficulté et confusion du vocabulaire, un thème récurrent du livre de Harris. Permettez-moi d’être tout à fait clair à nouveau. Je n’ai pas tout compris dans ce livre et j’ai imaginé que Harris aurait pu créer un nouvel indice: comme vous le savez peut-être si vous lisez mon blog, je mentionne des indices de temps en temps, comme l’indice Erdős, l’indice Tesla; ce nouvel indice pourrait être 0 pour les géants ou les supergéants des mathématiques, les humains qui pourraient recevoir la Médaille Fields, le Prix Abel ou équivalent, 1 pour ceux qui peuvent comprendre (tout) ce qui a été écrit en mathématiques par ceux qui ont l’indice 0; puis 2, pour ceux qui peuvent comprendre (tout) qui a été écrit en mathématiques par ceux ont l’indic 1, etc… Je ne sais pas où l’index s’arrêterait et peut-être qu’il existe déjà … J’aimerais croire que je suis au niveau 3 quand j’ai fait la découverte au sujet de « apologie », « éloge », « excuses », je me suis remis au niveau 5 …

Harris va encore plus loin que Hardy avec ses « No apologies », même s’il le cite: L’ironie n’a pas dit son dernier mot sur l’utilité [de la science], même si l’utilité est comprise, d’après Hardy, comme ce qui « tend à accentuer les inégalités existantes dans la répartition de la richesse » [Page 296]. Je pense que Harris a écrit un livre très utile sur les mathématiques. J’ajoute une autre citation sur la nature de la beauté mathématique: «il existe un très haut degré d’inattendu, combiné à l’inévitabilité et à l’économie» [Page 307].

En cherchant plus d’informations sur Harris, j’ai trouvé sa page Web qui commence par la citation que je donne plus haut de Bolaño. Quand j’ai découvert Bolaño il y a quelques années, ce fut un tel choc que j’ai lu tout ce que j’ai pu trouver. Encore une fois sans comprendre tout. Mais si vous lisez le chapitre 9 de Harris, vous lirez que « ne pas comprendre tout » peut ne pas être important, en comparaison de l’impact que la confusion (apparente) peut susciter…

PS: J’aurais pu ajouter que pendant que je lisais Harris a émergé uen controverse quant à une nouvelle solution du problème P vs. NP. Plus d’informations dans un pdf détaillé et sur le blog de son auteur. J’aurais également dû mentionner le programme de Langlands et Alexandre Grothendieck, que j’ai par ailleurs mentionné ici. Mais le livre de Harris est tellement foisonnant…

« Ce ne sont pas les billes qui comptent. C’est le jeu. » Proverbe néerlandais

« En mathématiques, l’art de poser une question doit être considéré d’une valeur supérieure à celle de la résoudre. » Cantor

Les mathématiques peuvent être simples, voire évidentes; et belles, et même utiles. Il suffit de lire mon article précédent sur les 17 équations qui ont changé le monde d’Ian Stewart qui ont changé le monde. Mais il y a d’autres points de vue plus provocateurs. Il suffit de lire mathematics without apologies de Michael Harris.

Harris n’est certainement pas aussi facile à lire que Stewart. Mais c’est aussi (peut-être plus) enrichissant. Son chapitre 3, par exemple, est intitulé Not Merely Good, True and Beautiful (pas mêmes utiles, vraies ou belles). Dans ce monde de pression croissante pour justifier l’utilité de la science, l’auteur contre-attaque. « Il existe maintenant une vaste littérature sur les pressions exercées sur les laboratoires universitaires. Ces livres ignorent en général les mathématiques, où les enjeux ne sont pas aussi élevés et les possibilités d’applications commerciales limitées, en particulier dans les mathématiques pures ». [Page 55]

Mais même la Vérité semble être en jeu. « Si l’on pense vraiment profondément à la possibilité que les fondements des mathématiques soient incohérents, cela est extrêmement troublant pour tout esprit rationnel » [Voevodsky cité à la page 58] et quelques lignes avant « Bombieri a rappelé les préoccupations concernant la cohérence, la fiabilité et la véracité des mathématiques qui ont surgi pendant la crise des fondations et a fait allusion au statut ambigu des preuves informatiques et des preuves trop-longues ».

Enfin, Harris mentionne une certaine confusion au sujet de la beauté citant Villani: « L’aspect artistique de notre discipline est [si] évident » que nous ne voyons pas comment quelqu’un pourrait le manquer… ajoutant immédiatement que « ce qui fait généralement progresser un mathématicien est le désir de produire quelque chose de beau ». Harris cite alors un expert en art qui conseille aux amateurs de musées de « laisser aller [leurs] idées préconçues selon lesquelles l’art doit être beau ». [Page 63]

Harris ajoute que « l’utilité des applications pratiques, la garantie de la certitude absolue et la vision des mathématiques en tant que forme d’art – l’utile, le vrai et le beau, en résumé- ont l’avantage de tendre la main avec des associations pratiques alors que nous devrions garder à l’esprit que ce que vous êtes prêt à voir comme utile dépend de votre point de vue, et que d’autre part, le vrai et le beau peuvent eux-mêmes être considérés comme des utilités. » [Pages 63-4]

La réponse brève à la question du «pourquoi» va être que les mathématiciens s’engagent dans les mathématiques parce qu’elles nous plaisent. [Page 68]

Peut-être plus dans un autre article…

Au lieu d’une autre publication, voici une courte section extraite de la page 76 et ajoutée le 27 août:

Les parallèles entre mathématique et art

« Ici, le parallèle présumé mais largement infondé entre les mathématiques et les arts offre une clarté inattendue. Quiconque veut inclure les mathématiques parmi les arts doit accepter l’ambiguïté qui vient avec ce statut et avec les différentes perspectives implicites dans différentes façons de parler de l’art. Six de ces points de vue sont particulièrement pertinents: les champs sémantiques changeants que le mot art a historiquement désignés; les tentatives des philosophes de définir l’art, par exemple, en le subordonnant à la notion (largement dépassée) de la beauté ou à fonder (« ground ») l’éthique dans l’esthétique, comme dans les Principia Ethica de G. E. Moore, qui, par l’intermédiaire de l’Apologie de Hardy, continue d’influencer les mathématiciens; l’attitude sceptique de ceux, comme Pierre Bourdieu, qui voit le goût artistique comme affirmation de la distinction sociale; les institutions du monde de l’art, dont les représentants réfléchissent sur eux-mêmes dans les les entretiens de Muntadas; l’expérience créative personnelle des artistes dans le cadre de la tradition artistique; et l’existence irréductible et (habituellement) matérielle des œuvres d’art elles-mêmes.
De façon pratique, chacune de ces six approches de l’art a une contrepartie mathématique: les cognats (mots apparentés) du mot mathématiques lui-même, dérivent du mot grec mathesis, qui signifie simplement « apprentissage », et dont le sens s’est développé et contracté à plusieurs reprises au cours des millénaires et d’une culture à une autre, y compris celles qui n’avaient aucune affinité particulière pour la racine grecque; les mathématiques des philosophes des écoles « encyclopédistes »; les mathématiques scolaires dans leur rôle de filtre social et professionnel; Les institutions sociales des mathématiques avec leur complexité interne et des interactions non moins complexes avec d’autres institutions sociales et politiques; l’expérience créative personnelle du mathématicien dans le cadre de la tradition (le dialogue sans fin avec les géants et les super-géants des listes d’IBM et autres); et l’existence irréductible et (habituellement) immatérielle des théorèmes, des définitions et d’autres notions mathématiques. »

A suivre peut-être…

En hommage à Maryam Mirzakhani

De temps en temps, je mentionne ici des livres que j’ai lus sur les sciences et les mathématiques. C’est le premier que je lis de Ian Stewart. Honte à moi, je devrais l’avoir lu il y a longtemps. 17 équations qui ont changé le monde est un petit livre merveilleux qui décrit la beauté des mathématiques. Je crois que c’est à lire absolument.

Donc, comme petit exercice, vous pouvez jeter un œil à ces 17 équations et vérifier combien vous en connaissez. Quel que soit le résultat, je conseille vraiment de lire ce livre! Et si vous ne le faites pas, vous pouvez consulter les réponses ci-dessous …

Et voici donc, les noms des équations et les mathématiciens qui les ont découvertes (ou les ont inventées – en fonction de ce que vous pensez de ce que sont vraiment les maths…)

Chaque année, j’essaie de transmettre ce que je crois être la beauté des mathématiques lorsque j’enseigne l’optimisation convexe à l’EPFL. J’ai déjà mentionné sur ce blog quelques beaux livres de vulgarisation sur le sujet. Quelques lectures récentes m’ont convaincu encore plus et laissez moi essayer de vous convaincre également.

Alain Badiou est un choix assez surprenant pour parler de mathématiques, mais j’aime ce qu’il a récemment écrit: « Ce sentiment quasi esthétique des mathématiques m’a frappé très tôt. […] Je pense à la droite d’Euler. On montrait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, c’était déjà beau. Puis que les trois médiatrices l’étaient aussi, en un point O, de mieux en mieux ! Enfin que les trois médianes l’étaient également, en un point G ! Formidable. Mais alors, avec un air mystérieux, le professeur nous indiquait que l’on pouvait démontrer comme l’avait fait le génial mathématicien Euler, que ces points H, O, G étaient en plus tous les trois sur une même droite, qu’on appelle évidemment la droite d’Euler ! C’était si inattendu, si élégant, cet alignement de trois points fondamentaux, comme comportement des caractéristiques d’un triangle ! […] Il y a cette idée d’une découverte véritable, d’un résultat surprenant au prix d’un cheminement parfois un peu difficile à suivre, mais où l’on est récompensé. J’ai souvent comparé plus tard les mathématiques à la promenade en montagne : la marche d’approche est longue et pénible, avec beaucoup de tournant, de raidillons, on croit être arrivé, mais il reste encore un tournant… On sue, on peine, mais quand on arrive au col, la récompense est sans égale, vraiment : ce saisissement, cette beauté finale des mathématiques, cette beauté sûrement conquise, absolument singulière. » [Pages 11-12]

Une autre source d’inspiration est Proofs_from_THE_BOOK (Raisonnements divins). Ecrit en hommage à Paul Erdös, le livre commence par les deux pages ci-dessus. « Paul Erdös aimait parler du Livre, dans lequel Dieu maintient les preuves parfaites des théorèmes mathématiques, suivant le dicton de G. H. Hardy qu’il n’y a pas de place durable pour la laideur dans les mathématiques. Erdös avait également déclaré que vous n’avez pas besoin de croire en Dieu mais, en tant que mathématicien, vous devriez croire au Livre. […] Nous n’avons aucune définition ou caractérisation de ce qui constitue une preuve du Livre: tout ce que nous offrons ici sont les exemples que nous avons sélectionnés, en espérant que nos lecteurs partageront notre enthousiasme pour des idées brillantes, des idées intelligentes et de merveilleuses observations ».

Il m’arrive d’essayer de me souvenir des démonstrations les plus belles que j’ai « ressenties » depuis mes années de lycéen.

– La plus lumineuse, la démonstration par Gauss de la somme des n premiers entiers.

– Deux démonstrations du théorème de Pythagore.

– Il y en aurait beaucoup d’autres comme l’infinité des nombres premiers, le développpement en série de ∏ (), la très belle conception de la dualité pour les ensembles convexes (vous pouvez regarder un ensemble à travers ses points « interieurs » ou à travers l’enveloppe duale « extérieure » faite de ses tangentes).

– Mais la plus fascinante pour moi, reste l’utilisation de la Diagonale de Cantor:

[De Wikipedia:]

Je vais terminer par une dernier extrait de Badiou (page 82): « J’appelle vérités (toujours au pluriel, il n’y a pas la « vérité ») des créations singulières à valeur universelle : œuvres d’art, théories scientifiques, politiques d’émancipation, passions amoureuses. Disons pour couper au plus court : les théories scientifiques sont des vérités concernant l’être lui-même (les mathématiques) ou les lois « naturelles » des mondes dont nous pouvons avoir une connaissance expérimentale (physique et biologie). Les vérités politiques concernent l’agencement des sociétés, les lois de la vie collective et de sa réorganisation, tout cela à la lumière de principes universels, comme la liberté, et aujourd’hui, principalement, l’égalité. Les vérités artistiques se rapportent à la consistance formelle d’œuvres finies qui subliment ce que nos sens peuvent recevoir : musique pour l’ouïe, peinture et sculpture pour la vision, poésie pour la parole… Enfin, les vérités amoureuses portent sur la puissance dialectique contenue dans le fait d’expérimenter le monde non à partir de l’Un, de la singularité individuelle, mais à partir du Deux, et donc dans une acceptation radicale de l’autre. Ces vérités ne sont pas, on le voit, de provenance ou de nature philosophique. Mais mon but est de sauver la catégorie (philosophique) de vérité qui les distingue et les nomme, en légitimant qu’une vérité puisse être :
-absolue, tout en étant une construction localisée,
-éternelle, tout en résultant d’un processus qui commence dans un monde déterminé et appartient donc au temps de ce monde. »

Je notai hier cette drôle de formule. Y aurait-il de la magie comme le pensent beaucoup dans le chiffre 7. Est-ce que je serais en train de perdre de mon esprit rationnel – quoique je doive admettre que le monde des start-up est souvent irrationnel? Non : le nombre 7 n’est pas le seul. Il en de même pour 5 [25=24+1], 3 [9=8+1], et ainsi de suite 11, 17. Alors il s’agit des nombres premiers? Même pas, la formule est vérifiable pour tous les entiers… Je me suis senti un peu stupide quand j’ai découvert qu’il ne s’agissait que d’appliquer la formule a^2 – b^2 = (a-b) x (a +b)!!

J’adore les mathématiques et elles n’ont rien de magique, malgré leurs mystères. J’aime aussi lire des livres sur le sujet. Les meilleurs montrent la poésie, la beauté de la discipline. Et pour conclure sur cet article inhabituel sur ce blog, voici quelques unes de mes lectures passées, sans préférence particulière:

Il y a toujours des problèmes non résolus. Le plus célèbre est sans doute de résoudre l’hypothèse de Riemann. Voici deux livres qui racontent sa genèse:

(Cliquer sur chaque image pour un lien au livre)

Il y a même un prix de un million de dollars pour 7 prix à résoudre, proposé par le Clay Institute. Le premier problème résolu fut la conjecture de Poincaré par Grigori Perelman. Perelman a décliné le prix mais ceci est une autre histoire !

Avant ces problèmes, il y eut les problèmes de Hilbert. A l’époque, le Théorème de Fermat était sans doute le plus célèbre !

Enfin deux derniers exemples pour terminer, mais je pourrais en citer tant d’autres, voici la biographie de génies des mathématiques assez étranges, Srinivasa Ramanujan et Paul Erdös

Je reviendrais peut-être un jour sur le sujet, et plus généralement sur les livres de popularisation des sciences! N’hésitez pas à me donner vos exemples et conseils… 🙂

NB: si vous cherchez les éditions en anglais, voir l’article https://www.startup-book.com/2012/11/19/7-x-7-7-1-x-71-1/